Sisteme de Ecuații Liniare și Rangul Matricilor

Rangul unei Matrici

Rangul unei matrici A (notat rang(A) sau r(A)) reprezintă numărul maxim de linii (sau coloane) liniar independente din matrice.

rang(A) = numărul de pivoți nenuli după aplicarea eliminării Gauss

Proprietăți importante:

  • rang(A) ≤ min(m, n), unde A este o matrice m×n
  • rang(A) = rang(AT)
  • rang(AB) ≤ min(rang(A), rang(B))

Teorema Rouché-Frobenius (Kronecker-Capelli)

Pentru un sistem de ecuații liniare Ax = b, unde A este matricea coeficienților și [A|b] este matricea extinsă:

Sistem compatibil: rang(A) = rang([A|b])

Sistem incompatibil: rang(A) < rang([A|b])

Pentru sistemele compatibile:

  • Sistem compatibil determinat: rang(A) = rang([A|b]) = n (numărul de necunoscute)
  • Sistem compatibil nedeterminat: rang(A) = rang([A|b]) < n

Tipuri de Sisteme

Sistem simplu determinat: Număr de ecuații = număr de necunoscute = rang(A)

Sistem supradeterminat: Număr de ecuații > număr de necunoscute

Sistem subdeterminat: Număr de ecuații < număr de necunoscute

Calculator Rang Matrice

×

Analiză Sisteme de Ecuații

Generator de Exerciții